Matematika

Příklad 2.

Jsou dány funkce poptávky Q_D = 10 - P a nabídky Q_S = -2 + P , kde P je cena v Kč a symbol Q označuje množství nějakého produktu. Určete:

1. rovnovážnou cenu, rovnovážné množství a celkový příjem v Kč,
2. totéž, jestliže je vládou stanovena nejnižší cena 8 Kč za jednotku množství; výsledek porovnejte s bodem a).

Řešení

Příklad 3.

Eulerovo číslo e = 2,7182818284..., které je základem přirozených logaritmů (značí se lnx), je definováno jako následující limita:

K číslu e lze dojít i při řešení následujícího problému na složené úrokování (byť s nereálnými úrokovými mírami a obdobími): Uvažujme, že 1. ledna uložíme do banky 100 Kč na 100 % roční úrok. Po jednom roce tedy budeme mít na účtu 200 Kč. Při půlročním úrokování (každý půlrok se připíše 50 %) bychom na účtu měli přesně za jeden rok částku 100.(1+0,5)2 = 225 Kč. Určete, jaká částka bude na účtu za 1 rok, jestliže roční úroková míra bude stále 100 % a úrokovací období bude:

1. čtvrtletní
2. měsíční
3. denní
4. k čemu se blíží podíl částky na účtu a původního vkladu 100 Kč?

Řešení

Příklad 4.

Zahrádkář má k dispozici 120 metrů pletiva a chce oplotit pozemek ve tvaru obdélníka (případně čtverce) tak, aby oplotil maximální rozlohu pozemku. Najděte tvar pozemku tak, aby měl maximální plochu pozemku.

Řešení

Příklad 5.

Na počátku 90. let 20. století byla ve Spojených státech velmi populární show Montyho Halla. V programu jmenovaného konferenciéra se mohli diváci zúčastnit soutěže o automobil, a úkol, který přitom museli splnit, byl zdánlivě jednoduchý: ve studiu se nacházely troje zavřené dveře. Za jedněmi z nich se skrýval automobil, za zbývajícími dvěma však byly kozy (živá zvířata). Soutěžící si měl vybrat „správné“ dveře (tedy ty s autem) a postavit se před ně. Jakmile tak dotyčný učinil, otevřel Monty Hall některé ze zbývajících dvou dveří a ukázal, že je za nimi koza. Načež učinil soutěžícímu „ďábelskou“ nabídku: „Chcete si ponechat výhru za dveřmi, které jste si vybral, nebo svou volbu změníte a vyberete si cenu za posledními (zavřenými) dveřmi?“ Je lepší svou volbu přehodnotit nebo ne?

Řešení

Příklad 6.

Pět lupičů si má rozdělit lup: 100 zlatých mincí. Všichni jsou stejně chytří, všichni si dovedou spočítat všechny logické možnosti, které mohou nastat, a všichni se řídí těmito pravidly:

1. přežít,
2. získat co nejvíce peněz,
3. zbavit se ostatních lupičů.

Dělení probíhá tak, že nejstarší lupič navrhne, jak peníze rozdělit, a pak o tomto návrhu všichni lupiči hlasují. Pokud získá návrh většinu, je přijat (počítá se i hlas navrhujícího lupiče). Pokud ne, je nejstarší lupič zabit a další návrh předkládá druhý nejstarší lupič, atd. Jaký návrh přednese nejstarší lupič?
Řešení

Příklad 7.

Určete maximální zisk firmy, jestliže příjmy v Kč jsou popsány funkcí f(x) = 200x – 40 a náklady funkcí g(x) = 100 + 0,2x², kde x je počet vyrobených kusů daného výrobku

Řešení

Příklad 8.

Karel si chce pořídit nový mobilní telefon. Zaujaly ho modely A, B, C a D, mezi kterými se chce rozhodnout pro nejlepší model. Rozhodování provede na základě těchto tří kritérií: ceny, estetického hlediska a technického hlediska (zahrnuje všechny funkce mobilu). Každému modelu přiřadil Karel počet bodů od 0 (nejhorší hodnocení) do 10 (nejlepší hodnocení) podle každého ze tří kritérií, výsledek je uveden v Tabulce 1 společně s váhou – důležitostí v %, kterou Karel přikládá každému kritériu (viz druhý řádek, součet vah je 100). Karel si vybere mobil, který získá nejlepší (tedy nejvyšší) hodnocení. Který to bude?

Řešení

Příklad 9.

Lenka je studentkou 3. ročníku obchodní akademie a v hodině základů společenských věd přednesla ve třídě hypotézu, že čím větší je nějaká země Evropské unie (EU), tím je i bohatší. Aby svou hypotézu podpořila, sestavila tabulku všech zemí EU společně s jejich rozlohou a HDP na jednoho obyvatele (viz Tabulka 2). Lineární závislost mezi dvěma veličinami lze posoudit na základě jejich korelačního koeficientu r. Ten nabývá hodnot od –1 do 1. Kladné hodnoty znamenají přímou úměrnost (čím větší je jedna veličina, tím větší je i druhá veličina), záporné nepřímou. Čím více se absolutní hodnota r blíží k 1 tím větší je závislost mezi veličinami. K výpočtu r můžete použít funkci CORREL v MS Excel.

Řešení

Příklad 10.

Tomáš má k dispozici důchod 200 jednotek (například eur). Může si za ně koupit dva statky, které mají cenu P₁ = 4 a P₂ = 2 jednotky. Funkce užitku U Tomáše (tj. celková užitečnost statků pro Tomáše vyjádřena číselně) je dána takto: U(Q₁, Q₂) = Q₁.Q₂, kde Q₁ je množství prvního statku a Q₂ je množství druhého statku. Užitek Tomáše je tedy přímo úměrný množství každého z obou statků. Jaké množství statků má Tomáš koupit tak, aby maximalizoval svůj užitek a přitom utratil veškerý důchod?

Řešení